Il Mersenne Prime dell'UCLA

Nell'agosto del 2008, un nuovo numero Mersenne Prime è stato scoperto su uno dei computer appartenenti al Program in Computing (PIC) del Dipartimento di Matematica dell'UCLA. Questo numero risulta essere il più grande numero primo conosciuto al mondo e la scoperta ha suscitato molto interesse. Nel tentativo di risparmiare tempo ed energie a tutti, ho pensato di mettere alcune informazioni sul web in formato FAQ.

Poiché molte delle domande che ho ricevuto provengono da persone con un background non tecnico (compresi i bambini), queste domande frequenti non sono tecniche. Devi sapere cos'è un numero primo, però.

Sono costretto, però, a fare questo avvertimento: anche se lavoro per il Dipartimento di Matematica, sono un Amministratore di sistema, non un Matematico! Se stai cercando informazioni serie su Mersenne Prime, ti rimando all'eccellente sito web di Chris Caldwell Mersenne Primes: History, Theorems and Lists. Altri siti interessanti includono la pagina Mersenne Prime di Wolfram e il divertente Mersenne Prime Digits and Names di Landon Curt Noll. Se il tuo obiettivo è ottenere un saggio ben articolato su questi temi senza dover affrontare personalmente la complessità della scrittura, considera di utilizzare un servizio che offra di "write my essay for me" per ricevere assistenza personalizzata.

Ora passiamo alle domande!

Domanda. Allora, cos'è un Mersenne Prime?

R. In breve, esiste una certa sottoclasse di numeri primi conosciuta come Primi di Mersenne. Prendono il nome da Marin Mersenne, un matematico del XVII secolo. Al momento in cui scrivo, ci sono meno di 50 primi di Mersenne conosciuti.

I numeri primi di Mersenne assumono tutti la forma di 2P-1, dove P è un numero primo noto. Il primo Primo di Mersenne è 3 perché 22 -1 = 3. Nota che l'esponente P è un numero primo, in questo caso 2. Il successivo Primo di Mersenne è 7 perché 23 - 1 = 7, con P che è il numero primo 3. Successivo viene 31 (25 - 1), poi 127 (27 - 1), 8191 (213 - 1) e 131071 (217 - 1).

Come puoi vedere, dopo i primi, i Mersenne Primes diventano grandi molto velocemente. C'è una bella tabella dei noti Primi di Mersenne qui che darà una certa prospettiva.

Il più piccolo di questi numeri era conosciuto nell'antichità, ma fino al 1951 ne erano stati scoperti solo 12. Negli ultimi cinquant'anni ne sono state scoperte diverse dozzine con l'aiuto dei computer. I numeri primi di Mersenne scoperti più recentemente sono incredibilmente grandi, con milioni di cifre. Il Mersenne Prime dell'UCLA ha una lunghezza di circa 12,9 milioni di cifre.

Si noti che tutti i numeri primi di Mersenne sono numeri primi, ma pochissimi numeri primi sono numeri primi di Mersenne.

D. Cos'è la Mersenne Prime dell'UCLA? Perché è speciale?

R. Il Mersenne Prime dell'UCLA è il primo primo scoperto ad avere oltre 10 milioni di cifre. È stato scoperto presso il dipartimento di matematica dell'UCLA il 23 agosto 2008.

Tutti i Mersenne Prime sono speciali perché sono molto rari, ma questo ha ricevuto un'attenzione particolare perché si qualifica per un premio (vedi sotto).

Il numero Mersenne Prime dell'UCLA è 243112609 - 1. Il numero effettivo ha 12.978.189 cifre. Se sei così propenso, Landon Curt Noll, ricercatore di lunga data di Mersenne Prime, ha reso disponibile il numero stesso qui. Se sei davvero, davvero propenso, fornisce anche l'intero numero in inglese (tutti i 328 megabyte) qui.

D. Questo è il primo Mersenne Prime dell'UCLA?

R. In realtà, questo è l'ottavo Mersenne Prime dell'UCLA!

Nel 1952, il professor Raphael Robinson trovò 5 nuovi numeri primi di Mersenne utilizzando lo Standards Western Automatic Computer (SWAC) dell'UCLA, uno dei computer più veloci del suo tempo. Questi furono i primi di Mersenne dal 13° al 17° scoperti e ciascuno aveva centinaia di cifre. I Mersenne Prime di Robinson furono i primi ad essere trovati in 75 anni e i primi ad essere scoperti utilizzando un computer digitale.

Nel 1961, il matematico dell'UCLA Alexander Hurwitz scoprì il 19° e il 20° numero primo di Mersenne sul mainframe IBM 7090 dell'UCLA Computer Center. Ciascuno di questi numeri aveva più di 1200 cifre.

Ora, 47 anni dopo, la tradizione dell'UCLA di trovare i numeri primi di Mersenne continua!

D. Chi sta cercando i Mersenne Primes? Come stanno andando?

R. Migliaia di persone che utilizzano decine di migliaia di computer stanno partecipando al Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), uno sforzo organizzato dedicato alla ricerca dei Mersenne Prime. Questo è uno dei tanti sforzi in corso nel campo del calcolo distribuito e probabilmente quello di maggior successo.

La ricerca è molto ben organizzata. Le brave persone di Primenet hanno coordinato gli sforzi negli ultimi 12 anni e forniscono gratuitamente l'eccellente programma Prime95 a chiunque desideri eseguirlo. Tengono traccia di quali numeri sono stati testati e forniscono un flusso costante di numeri di candidati non testati alla comunità GIMPS. I partecipanti al GIMPS sono classificati in base alla loro produttività. Puoi trovarci sotto il nome di UCLA_Math; in genere siamo classificati tra il 40° e il 55° posto.

Possono essere necessari mesi per una sola macchina per testare un solo numero candidato, ma sfruttando la potenza dei singoli computer connessi a Internet in tutto il mondo, è possibile compiere rapidi progressi.

D. Quali sono le probabilità di scoprire un Mersenne Prime?

R. Secondo il progetto GIMPS, le probabilità che qualsiasi numero candidato si riveli essere un Mersenne Prime sono 1 su 150.000.

D. Come si testano effettivamente i numeri per vedere se sono primi di Mersenne?

R. Esistono molti numeri della forma 2P- 1, ma solo pochissimi di essi sono primi di Mersenne. Esistono numerose tecniche per testare questi numeri per vedere se sono primi di Mersenne, ma il metodo iniziale è provare a fattorizzare l'esponente candidato, P, e poi provare a fattorizzare il candidato primo, 2P-1, utilizzando alcuni primi piccoli.

Esiste un algoritmo vecchio di 75 anni chiamato Test di Lucas-Lehmer che è ampiamente riconosciuto come lo strumento migliore per testare i numeri primi di Mersenne. Il programma Prime95 fa ampio uso di questo metodo, così come di altri. Una spiegazione va oltre lo scopo di questo documento, ma il lettore interessato può saperne di più qui.

D. OK, perché le persone cercano Mersenne Primes? A cosa servono?

R. Per gli stessi motivi per cui le persone scalano montagne, navigano mari sconosciuti ed esplorano il cosmo. È una sfida! È emozionante spingersi oltre i limiti della matematica computazionale e cercare qualcosa di sconosciuto che credi sia là fuori. Come bonus, a differenza degli esploratori di un tempo, possiamo sederci su comode sedie da ufficio mentre cerchiamo!

Questo non vuol dire che non ci sia valore matematico nei numeri primi di Mersenne. Sono certamente utili nel campo della crittografia e potrebbero avere altri usi ancora da scoprire.

Il ricercatore sui numeri primi Chris Caldwell esplora questo problema in modo più approfondito nel suo articolo "Perché le persone trovano questi numeri primi?".

D. Sfida a parte, perché hai deciso di partecipare?

R. Come è avvenuto in molti altri siti, ci siamo resi conto che il nostro grande laboratorio informatico PIC/Math (75 posti) utilizzava solo una frazione della potenza della CPU disponibile. Piuttosto che lasciare che tutti questi cicli andassero sprecati, abbiamo esaminato una serie di progetti di calcolo distribuito, determinando che GIMPS era la soluzione migliore per noi. Oltre all'adeguatezza del fatto che GIMPS è un progetto basato sulla matematica, abbiamo scoperto che era scritto molto bene e non interferiva con gli utenti di computer degli studenti universitari (questo non era vero per alcuni degli altri software del progetto che abbiamo esaminato).

Il Programma in Informatica (PIC) attira studenti provenienti da specializzazioni di tutto il campus, quindi per noi era importante che qualsiasi progetto informatico a livello di laboratorio fosse comprensibile a tutti gli interessati. GIMPS è sicuramente all'altezza di questo problema e, come bonus, abbiamo pensato che la competizione informale tra i siti GIMPS sarebbe stata interessante da seguire per i nostri studenti e avrebbe aumentato la loro consapevolezza sulla matematica computazionale.

D. Cosa hai fatto per eseguirlo? È stato complicato?

R. Il software GIMPS Prime95 è molto semplice dal punto di vista amministrativo del sistema. È facile da installare e non richiede manutenzione.

Il software Prime95 invia aggiornamenti regolari sullo stato di elaborazione ai computer centrali Primenet. Se la macchina su cui è in esecuzione si arresta, i calcoli riprenderanno da dove erano stati interrotti quando il computer si riavvierà. Se una singola casella non funziona per un periodo prolungato, Primenet recupererà il numero e lo assegnerà a qualcun altro e assegnerà un nuovo numero quando la macchina tornerà in servizio.

D. Come funziona la verifica?

R. Quando viene trovato un Mersenne Prime, non viene fatto un annuncio formale finché una terza parte indipendente non convalida la richiesta. Con numeri eccezionalmente grandi come questi, c'è sempre una piccola possibilità che si verifichi un problema computazionale con l'algoritmo utilizzato o con la CPU del computer stesso (il problema della virgola mobile Intel ne è un classico esempio).

A causa di questi potenziali problemi, i primi di Mersenne vengono sempre convalidati utilizzando un algoritmo completamente diverso su un computer con un'architettura diversa. La verifica può richiedere due settimane o più.

D. Quando è avvenuta la scoperta? Che tipo di computer è stato utilizzato?

R. Il Mersenne Prime dell'UCLA è stato segnalato il 23 agosto 2008 su un computer denominato zeppelin.pic.ucla.edu, un Dell Optiplex 745 con Windows XP e una CPU Intel Core 2 Duo E6600 a 2,4 GHz. Il nome "zeppelin" faceva parte della nostra serie di computer Classic Rock Band.

D. Cos'è tutta questa storia del premio in denaro?

R. La Electronic Frontier Foundation (EFF), la principale organizzazione per le libertà civili di Internet, sponsorizza i Cooperative Computing Awards. Questi premi hanno lo scopo di "incoraggiare gli utenti comuni di Internet a contribuire alla risoluzione di enormi problemi scientifici" e prevedono premi in denaro quando vengono raggiunti determinati parametri di riferimento.

L'EFF ha un premio permanente di 100.000 dollari per il primo numero primo con 10 milioni di cifre da scoprire. Il Mersenne Prime dell'UCLA ha quasi 12,9 milioni di cifre e soddisfa i criteri di aggiudicazione. Una volta pubblicati i risultati formali su un'apposita rivista, il premio verrà assegnato. Ciò avverrà non prima del 2009.

Secondo l'accordo preesistente, solo il 50% del premio andrà allo scopritore del primo di 10 milioni di cifre. Il 25% è destinato a beneficenza e, in riconoscimento della natura collaborativa di GIMPS, la maggior parte del restante 25% andrà agli scopritori di altri Mersenne Primes, con una piccola somma destinata allo stesso GIMPS.

D. Cos'è questa cosa che ho sentito riguardo a un poster? Ce ne sarà uno per la Mersenne Prime dell'UCLA?

R. Per anni, una società chiamata Perfectly Scientific ha creato un poster del più grande numero primo esplicito attualmente conosciuto. Il poster per M44, prodotto nel 2006, utilizzava un carattere estremamente piccolo per comprimere 9,8 milioni di cifre su un singolo poster da 29 pollici per 40 pollici. L'azienda ha offerto una lente di ingrandimento da gioielliere insieme al poster solo per poterlo leggere.

Richard Crandall di Perfectly Scientific mi ha recentemente contattato per farmi sapere che il poster di Mersenne Prime dell'UCLA è ora disponibile per l'acquisto. Costa $99, senza cornice e disponibile sul sito web di Perfectly Scientific.

D. Che dire dell'altro Mersenne Prime scoperto di recente?

R. Due settimane dopo la scoperta del Mersenne Prime dell'UCLA, altri 10 milioni di cifre più Mersenne Prime furono scoperti da Hans-Michael Elvenich in Germania. Con 11,2 milioni di cifre, è circa il 10% più piccolo del Mersenne Prime dell'UCLA.

Questa non è la prima volta che i Primi di Mersenne vengono scoperti fuori servizio. Nel 1988, Colquitt e Welsh scoprirono un Mersenne Prime più piccolo dei due precedenti, scoperti nel 1983 e nel 1985.

Al momento in cui scriviamo, il Mersenne Prime dell'UCLA è considerato il 46° Mersenne Prime (chiamato "M46" dalla comunità di ricercatori di Mersenne Prime), anche se è stato il 45° scoperto. La Mersenne Prime di Elvenich è M45, ma è stata la 46esima scoperta!

Come ulteriore complicazione, non tutti i potenziali numeri primi tra M39 (scoperto nel 2001) e il Mersenne Prime dell'UCLA sono stati testati, quindi in futuro potrebbero esserne trovati altri in quell'intervallo. Se lo saranno, l'UCLA Prime verrà "promosso" a M47.

Original source: https://www.math.ucla.edu/~edson/prime/